Atom Hidrogen Menurut TiSE

Urutan pakem silabus kuliah fisika kuantum di tingkat sarjana adalah: (1) teori kuantum, (2) mekanika kuantum, dan (3) fisika kuantum.

Sesi (1) biasanya mempelajari arti fungsi gelombang dari Persamaan Schroedinger. Sesi (2) tentang penggunaan aljabar linier untuk menggunakan operator-operator kuantum.

Yang paling seru tentu sesi (3). Pada sesi ini, kita aplikasikan ilmu pada dua sesi sebelumnya pada fenomena-fenomena nyata. Fenomena yang wajib dibahas tentu saja pergerakan elektron dalam atom hidrogen — atau lebih umum disebut model atom hidrogen menurut TiSE.

Model atom hidrogen menurut TiSE mengandung dua pertanyaan. Pertama: kenapa TiSE, kenapa bukan Persamaan Schroedinger (yang bergantung waktu) saja? Kedua: kenapa atom hidrogen, kenapa bukan atom yang lain?

Pertanyaan kedua mudah dijawab. Karena atom hidrogen adalah sistem kuantum riil yang paling sederhana di alam raya ini.

Cara belajar fisika adalah selalu memulai dari masalah yang paling sederhana. Implikasinya adalah fisika harus dapat menyederhanakan masalah-masalah rumit.

Karena itu kita menggunakan atom hidrogen untuk mengecek kesahihan teori kuantum.

Pertanyaan kedua tidak mudah menjawabnya. Tetapi, kita dapat jawab dengan mudah jika pertanyaan diganti dengan

bagaimana TiSE memodelkan atom hidrogen?

Jawab

Empat langkah menjawab pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, kita harus tahu apapun yang dimodelkan oleh TiSE bentuknya pasti berupa potret fungsi gelombang pada keadaan stasioner, \(\psi(x)\), dengan energi, E, yang berasosiasi dengan \(\psi(x)\) tersebut.

Ada empat sifat \(\psi(x)\) yang didapat dari solusi TiSE.

  1. Solusi lebih dari satu, membentuk himpunan \(\{ \psi_n, E_n \}\) dengan n = 1, 2, 3, 4, … . (Pada kasus tertentu, n dapat mulai dari nol.)
  2. Ortonormal.
  3. Komplit.
  4. Transformasi Fourier.

Kedua, kita harus tahu apa yang diketahui orang sebelum Persamaan Schroedinger muncul pada tahun 1925.

Oleh sebab itu, kita harus tahu sedikit-banyak sejarah teori atom. Mulai dari zaman Leucippus, John Dalton, J. Jhon Thomson, Ernest Rutherford, dan terakhir Niels Borh.

Setiap teori atom memiliki implikasi. Ada implikasi yang valid secara eksperimen, ada juga yang tidak valid.

Ketiga, kita harus tahu implikasi valid mana yang dibutuhkan TiSE.

Implikasi yang dibutuhkan TiSE berasal dari model atom Rutherford dan Bohr.

Teori atom Rutherford memberi kita informasi bahwa para elektron mengorbit nukleus seperti para planet mengorbit matahari.

Implikasinya: (1) gerakan elektron 3D, (2) nukleus sangat massif, dan (3) ada gaya yang takdikenal yang menahan elektron tidak melebur ke dalam nukleus karena gaya tarik-menarik Coulomb.

Implikasi ke-3 ini yang sering disebut “kegagalan model atom Rutherford.” (Insyaallah saya bahas di lain waktu.)

Saya tidak tahu kenapa disebut “kegagalan.” Rutherford hanya belum menjelaskan, bukan tidak dapat menjelaskan.

Bohr kemudian menjelaskan bagaimana elektron tidak melebur ke dalam nukleus. Rahasianya bukan kehadiran gaya takdikenal. Rahasianya ada pada kuantisasi momentum angular elektron.

Kuantisasi momentum angular elektron memberikan energi elektron

\(\displaystyle E = – \frac{13.6\: \text{eV}}{n^2}\:.\)

Apa makna fisis n bukan fokus artikel ini. Yang menjadi fokus artikel ini adalah tanda minus. Tanda minus ini memberi implikasi ke-(4) elektron berada dalam keadaan terikat (bound state).

Keempat, setelah mengetahui keempat implikasi yang dibutuhkan TiSE, kita identifikasi apa yang harus kita modifikasi dari TiSE 1D

\(\displaystyle \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\: \frac{\mathrm{d}^2 \phantom{x}}{\mathrm{d} x^2} – V(x) \right] \: \psi(x) = E\: \psi(x)\:.\)

Implikasi (1): ubah x menjadi \((r, \theta, \phi)\) — gunakan koordinat sferis alih-alih Kartesian.

Operator derivatif orde dua berubah menjadi operator Laplacian dalam koordinat sferis.

Implikasi (2): nukleus tidak perlu dianggap bergerak, sehingga energi kinetiknya nol. Kehadirannya dapat diwakilkan oleh medan potensial elektrostatik yang dia bangkitkan.

Implikasi (3): hanya untuk melahirkan Implikasi (4).

Implikasi (4) + (1) dan (2): medan potensial yang dihasilkan bersifat terpusat (central potential). Potensial seperti ini hanya fungsi radial, tidak bergantung sudut sehingga \(\psi(r, \theta, \phi)\) mematuhi konsep simetri seperti pada solusi IWP dan HOP.

Akhirnya, kita dapatkan TiSE elektron dalam atom hidrogen sebagai

\(\displaystyle \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\: \nabla^2 – \frac{e^2}{4\pi\varepsilon}\: \frac{1}{r} \right] \: \psi(r, \theta, \phi) = E\: \psi(r, \theta, \phi)\:.\)

Langsung diselesaikan?

Tentu tidak. Sesuai dengan kaidah fisika, mulailah dari sesuatu yang sederhana. Sedangkan TiSE yang barusan kita tulis sama sekali bukan sesuatu yang sederhana.

Adakah yang lebih sederhana dari atom hidrogen?

Dalam konteks TiSE 3D, tentu ada, yaitu IBP. (Lihat Griffiths: P4.2.)

Setelah IBP, kita tingkatkan kompleksitas masalah, yaitu ISP. (Lihat Griffiths: E4.1)

Setelah kita dapat selesaikan TiSE ISP, baru kita melangkah ke menu utama: TiSE elektron dalam atom hidrogen — yang kemudian kita kenal sebagai model atom hidrogen menurut TiSE.

Selamat mencoba…

Keterangan: Jika Anda membaca artikel ini dari gawai (gadget), Anda mungkin tidak mendapatkan arti dari singkatan/akronim yang dipakai dalam artikel ini.

By febdian RUSYDI

a muslim, a teacher, a physicists, a blogger.

3 comments

Pikiran Anda?

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Don`t copy text!
%d bloggers like this: