Berikut adalah catatan pinggir saya untuk buku teks Griffiths Introduction to Quantum Mechanics, edisi kedua, Pearson Education International, hlm. 146-149.
Catatan pinggir ini adalah kelanjutan dari tulisan Atom Hidrogen Menurut TiSE.
- Misi: Penyelesaian Bagian Radial TiSE dengan fungsi energi potensial Coulomb.
- Metode penyelesaian mirip dengan solusi analitik HOP (Subbab 2.3.2).
- Eq. [4.54]: simplifikasi wajib untuk \((2\,m\, E / \hbar^2) = \kappa^2\). Simplifikasi ini telah kita temukan sejak kasus IWP (Eq. [2.21]), partikel bebas ([2.91]), potensial Delta Dirac ([2.117]), dan FWP ([2.146]). Apakah HOP tidak menggunakannya?
- Tujuan simplifikasi Eq. [4.54] adalah mengarahkan TiSE ke PDB orde dua yang solusinya sudah tersedia di bank solusi para matematikawan.
- Apakah \(\kappa\) punya arti fisis? Punya. Apa itu? Cek satuannya. Lalu, apa arti tanda negatif di dalam akar? Bukankah membuat nilai kappa menjadi bilangan kompleks?
- Eq. [4.55]: simplifikasi selanjutnya, dalam rangka poin 4.
- Solusi Eq. [4.56] mengandung asimptotik. Apa itu asimptotik? Perhatikan gambar berikut ini.
- Kita tidak butuh solusi TiSe yang mengandung asimptotik. Jadi, kita harus buang suku-suku solusi yang memberikan asimptotik ini. Ada tiga langkah yang Griffiths lakukan.
- Langkah 1: cek solusi pada daerah \(\rho \rightarrow \infty\): suku sebelah kanan Eq. [4.56] semua bernilai nol, kecuali suku pertama. Lahir satu solusi umum dengan kondisi khusus (B harus nol): Eq. [4.58]
- Langkah 2: cek solusi pada daerah \(\rho \rightarrow\) nol: suku sebelah kanan Eq. [4.56] semua bernilai nol, kecuali suku sentrifugal. Lahir satu solusi umum dengan kondisi khusus (D harus nol): Eq. [4.59]
- Dua solusi umum ini sama-sama tidak memiliki asimptotik, tetapi harus disatukan. Penyatuannya dilakukan pada langkah 3.
- Langkah 3: perkenalkan fungsi baru \(u(\rho)\): Eq. [4.60]. Fungsi ini perkalian dua solusi umum sebelumnya dengan satu tambahan fungsi baru, \(\nu(\rho)\).
- Kita harus uraikan apa itu nu(rho) yang cocok untuk Eq. [4.60]. Bla bla bla (kombinasi aljabar dengan PDB orde 2) berakhir pada Eq. [4.65]: bentuk lain dari Eq. [4.60] dengan \(\nu(\rho) = \exp(\rho)\) dan faktor normalisasi \(c_0\).
- Eq [4.65] ternyata masih mengandung asimptotik! Padahal itu banget yang ingin kita hindari. Tetapi, cara menghindari asimptotik dalam Eq [4.65] jauh lebih mudah daripada dalam Eq. [4.56].
- Caranya mau tahu? Lanjutkan baca buku teks…
